梁の曲げを考える際には「曲げモーメント」が登場します。
言葉の分かりやすさから、理解した気になりやすい曲げモーメント。
本記事では、そんな曲げモーメントの考え方・計算方法・公式について一からわかりやすく解説します。
曲げモーメントとは
曲げモーメントとは何か
曲げモーメントとは、部材を曲げようとする力のことです。
少し厳密に言うと、曲げられた部材の内部に発生する「断面を回転させる力（モーメント）」のことです。
なぜ、部材を曲げようとする力をモーメントで表すのか説明します。
上図のように梁を曲げたときの微小部分を考えます。
梁全体は弓なりに曲がっているので、その微小部分は右のように少しずつ断面が上向きになるよう変形している事になります。この変形させる力が、断面を回転させるように働いているので、梁を曲げる力を、曲げ「モーメント」と呼ぶのです。
曲げモーメントの記号・単位
曲げモーメントは記号\(M\)で表します。
曲げモーメントも「力のモーメント」と同様に力×距離で計算するので、単位は[Nm]です。
計算方法の詳細については後述します。
曲げモーメントの正負
曲げモーメントには正負の方向にお約束があり、「下側に凸となる場合に曲げモーメントを正とする」という考えが一般的です。
覚え方としては、最も基本的な梁であるな単純梁（両端支持梁）の場合に、重力などで自然に曲がる方向を正とする、と考えるとよいでしょう。
現実世界では梁に掛かる荷重は下向き（重力の方向）となる場合がほとんどなので、この向きを正としておく方が便利、という事です。
曲げ応力との関係
「曲げモーメント」と「曲げ応力」は、名前が似ていますが別物です。
| 曲げモーメント | 部材を曲げようとする力（断面を回転させる力） |
| 曲げ応力 | 部材の内部に発生する引張・圧縮応力 |
両者の関係を説明します。
下図のように曲げられた梁の微小部分を切り出したとき、断面には赤矢印のイメージで曲げ応力\(\sigma\)がかかります。曲げ応力の掛かり方の特徴は以下の通りです。
- 中立面を境に、凹側（上側）は圧縮、凸側（下側）は引張りとなる
- 中立面から遠くなるほど曲げ応力が大きくなり、表面で最大となる
このとき、曲げモーメント\(M\)と、曲げ応力\(\sigma\)の関係は次のように表されます。
$$\sigma=\frac{My}{I} \tag{1} $$
- \(\sigma\)：曲げ応力
- \(M\)：曲げモーメント
- \(y\)：中立軸までの距離
- \(I\)：断面二次モーメント
なお断面二次モーメント\(I\)とは、部材の変形しにくさを表す物理量で、断面形状によって算出されるものです。詳しくは別記事で解説しています。
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さて、式(1)より曲げモーメントが大きい場所ほど曲げ応力も大きくなり、こうした場所で部材が壊れやすくなる、という事が分かります。
例えば下図の場合、荷重を増やしていくと中央で梁が折れる事がイメージできると思います。
これは曲げモーメントが中央の位置で最大となるため、曲げ応力も中央で最大となるからです。なお梁の上側は圧縮、下側は引張となりますので、梁中央の下側から引張応力によって引きちぎられるように梁が破断していきます。
力のモーメントとの違い
「曲げモーメント」と「力のモーメント」は別物です。
一言でいうと、力のモーメントは外力、曲げモーメントは内力という違いがあります。
力のモーメントは「外力による物体全体の回転」を考えるのに対し、曲げモーメントは「外力を受けた物体内部の断面の回転」を考えます。
曲げモーメントの求め方
上で説明したように曲げモーメントは「断面を回転させる力」です。
ある断面における曲げモーメントを知るには、梁を仮想的に切り断面を出現させ、「この断面に曲げモーメントがいくら掛かると考えれば、切り離した梁におけるモーメントのつり合いが取れるか」を考えて算出します。
算出した曲げモーメントを、見易いようにグラフ化したものが曲げモーメント図（BMD）です。
曲げモーメントの計算方法の詳細と、曲げモーメント図の書き方については、別記事で詳しく解説しています。
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曲げモーメントの公式
代表的な梁における曲げモーメント図と、曲げモーメントの公式を示します。
グラフの式の詳細については、別の記事で解説しています。
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曲げモーメントによる変形（たわみ）
曲げモーメントが分かれば、梁の変形量（たわみ）を求める事ができます。
下の図のように断面二次モーメント\(I\)、ヤング率\(E\)の梁に曲げモーメント\(M\)を掛けたとき、梁の中立面における曲率\(1/\rho\)は次のように表されます。
\( \frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}=-\frac{d^2y}{dx^2} \)
梁の固定方法から決まる境界条件を与えて微分方程式を解くと、たわみ量を計算する事ができます。（詳細は省きます）
例えば下の図のように、長さ\(\ell\)の片持ちはりの先端に集中荷重\(P\)が掛かる場合、先端のたわみ\(y\)は次のようになります。
\(y=\frac{P\ell^3}{3EI}\)
このように、曲げモーメントから梁のたわみを求める事ができます。
梁のたわみの求め方・公式の覚え方については、以下の記事で詳しく解説しています。
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また、たわみの公式の導出方法については、以下の記事で詳しく解説しています。
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まとめ
曲げモーメントの考え方・計算方法・公式について解説しました。
ポイントをまとめます。
- 曲げモーメント（部材を曲げようとする力）は、断面を回転させる力で表現する
- 曲げモーメントは下側に凸変形する方向を正、上側に凸変形する方向を負とする
- 曲げモーメントが大きい箇所では曲げ応力が大きくなり、部材が壊れやすい
- 曲げモーメントを計算するには、梁を仮想的に切断し断面を出現させ、切り離した梁におけるモーメントのつり合いを考える
皆様の参考になれば幸いです。
