梁の曲げを考える際には「断面二次モーメント」が登場します。
材料力学で習いますが名前からして取っつき難く、
公式は知っているが良く分からないモノ、という印象があるかと思います。
本記事では断面二次モーメントとは何か、どんな意味のある物理量なのか
図解を交えて詳しく解説します。
「断面二次モーメント」とは何か？
何を表しているのか
断面二次モーメントとは、
「曲げた時にどれだけ変形しにくい（硬い）断面形状か」を表す物理量です。
梁のたわみ・変形量を求める際に必要で、
材質などは関係せず、形状・寸法のみによって決まります。
断面二次モーメントが大きいほどたわみが小さく、
変形しにくい断面形状である事を意味します。
「断面二次モーメント」という取っ付きにくい名前の由来については、
後ほど説明します。
なお、はりの曲げ・曲げモーメントについては、別の記事で詳しく解説しています。
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名前が似ている「断面係数」との違い
断面二次モーメントと良く似たモノに「断面係数」がありますが、
別の物理量ですので混同しないように注意しましょう。
断面二次モーメントは「梁のたわみ・変形量」を求める際に使うのに対し、
断面係数は「梁に掛かる応力」を求める際に使います。
計算に便利なように、式のまとめ方（定義）が少し違います。
断面係数の意味・求め方については、別の記事で詳しく解説しています。
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断面二次モーメントの導出と考え方
断面二次モーメントは「断面積×距離の2乗」で求める
下の図のように曲げモーメント\(M\)が掛かる梁の、微小部分を考えます。
断面二次モーメントとは、この微小部分における
「断面積×中立軸からの距離の2乗」と定義されています。
これを微小部分の断面全体で足し合わせたものが、
この形状の断面二次モーメントとなります。
なぜ距離の2乗を掛けるのか
先ほども述べた通り断面二次モーメントは
「曲げた時にどれだけ変形しにくい（硬い）形状か」を表します。
言い換えると「曲げモーメントにどれだけ抵抗できる形状か」となります。
これが断面積に比例するのはイメージが付くかと思いますが、
なぜ距離の2乗に比例するのかについて解説します。
下の図のような梁の微小部分において、
どれだけの曲げモーメントを受けられるか考えます。
微小断面\(dA\)を考えたとき、この微小断面に掛かる応力を\(\sigma_A\)、
受け持つ曲げモーメントを\(M_A\)と置きます。
力のモーメントは「荷重」×「距離」なので、
$$M_A＝(dA×\sigma_A)×y$$
となります。
モーメントを考える時の距離\(y\)が出てきました。
これが断面に掛ける距離\(y\)の2乗のうち、1つ目です。
次に距離\(y\)の2つ目ですが、
微小断面に掛かる\(\sigma_A\)は下の図のように分布しており、
距離\(y\)に比例しています。
従って梁の外側の方が強く引っ張り・圧縮されます。
表面に掛かる最大の応力を\(\sigma_{max}\)とすると、\(\sigma_{A}\)は以下で表されます。
$$\sigma_{A}＝\sigma_{max}×\frac{y}{e}$$
これを踏まえて、微小断面\(dA\)で受け持つ曲げモーメント\(M_A\)は
$$M_A=dA×\sigma_{max}×\frac{1}{e}×y^2$$
と書き直す事ができ、距離\(y\)の2乗に比例した形になる事が分かります。
つまり、モーメントを考える時の「力」と「距離」の両方で
中立軸（中立面）からの距離\(y\)が掛かるので、
断面二次モーメントは距離\(y\)の2乗に比例するのです。
ちなみに「断面二次モーメント」という取っ付きにくい名前は、
断面積に距離\(y\)の2乗（＝2次）を掛けたモーメントである事に由来しています。
式の意味を理解すると、名前にも納得がいくかと思います。
考察：外側に面積が集中した形状ほど有利
断面二次モーメントは、「断面積×中立軸まで距離の2乗」の総和、
であると解説しました。
同じ断面積でも、中立軸から遠い位置（＝外側）にいる微小断面積は、
「距離の2乗」の影響で断面二次モーメントに大きく寄与します。
従って中立軸の外側に断面積が集中した形状ほど断面二次モーメントが大きく、
曲げに対して有利である事が分かります。
この原理に則り、理にかなった形状をしているのがＨ形鋼です。
外側に断面積が集中しており、少ない材料で大きな断面二次モーメントを
出すことが出来ます。
良く使う断面二次モーメントの公式
円形と長方形の断面二次モーメントの公式を示します。
良く使う公式なので覚えておくと便利です。
断面二次モーメントは「断面積」×「距離の2乗」の総和で計算される事から、
距離の4乗の次元となっている事が分かります。
複雑形状の断面二次モーメントの求め方
断面二次モーメントを求める際に役立つ、基本的な考え方を2つ紹介します。
以下を抑えておけば、複雑形状の断面二次モーメントも手計算で求める事ができます。
断面二次モーメントは「足し引き」できる
同一の中立軸を持つ断面であれば、断面二次モーメントを足し引きすることが出来ます。
例えば円筒形の断面二次モーメントは、
中実の場合の断面二次モーメントから、
中抜きされた分の断面二次モーメントを引く事で求められます。
中空の長方形などの場合も同様の考え方で計算できます。
注意点として、「断面二次モーメント\(I\)」は足し引きできますが、
「断面係数\(Z\)」は足し引きできません。
複雑な形状の断面係数を求める場合は、
断面二次モーメントで足し引きした後に断面係数に換算する必要があります。
中立軸からズレた形状は「平行軸の定理」が便利
下の図のように断面が中立軸からズレた形状の場合は、
「平行軸の定理」を使うと便利です。
元々の断面二次モーメント\(I\)に、「断面積」×「移動距離の2乗」
を足す事で、ズレた後の断面二次モーメント\(I’\)を計算できます。
平行軸の定理を使えば、H形鋼の断面二次モーメントなども
簡単に求める事ができます。
断面二次モーメントを求めた後は
断面二次モーメントは、はりのたわみを求める際に使います。
例として、断面二次モーメント\(I\)、長さ\(\ell\)、ヤング率\(E\)の片持ちはりを考えます。
このはりの先端に、集中荷重\(P\)が掛かる場合、
先端のたわみ\(ｙ\)は次のように計算できます。
\(y=\frac{P\ell^3}{3EI}\)
たわみ\(y\)が断面二次モーメント\(I\)に反比例する式になっています。
従って断面二次モーメント\(I\)が大きいほど、たわみ\(y\)が小さくなる事が分かります。
なお、はりの固定方法などの境界条件が変われば、上の式の係数は変わります。
たわみの求め方・公式の覚え方については別の記事で詳しく解説しています。
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また、たわみの公式の導出方法については、以下の記事で詳しく解説しています。
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まとめ
断面二次モーメントについて詳しく解説しました。
本記事のポイントをまとめます。
- 断面二次モーメントは「曲げた時にどれだけ変形しにくい（硬い）形状か」を表す
- 断面二次モーメントを使えば、曲げた梁のたわみ量を計算できる
- 断面二次モーメントは「断面積」×「距離の2乗」の総和で求める
- 距離の2乗を掛けるのは、モーメントの「力」と「長さ」の両方が
中立軸からの距離に比例するから
皆様の参考になれば幸いです。
