【解説】断面二次モーメントと断面係数の違いとは？│プラントエンジの樹

材料力学では「断面二次モーメント」と「断面係数」が頻出しますが、
名前も算出方法も似ているので混同し易いかと思います。

本記事では断面二次モーメントと断面係数の違いを分かり易く解説します。

1 断面二次モーメントと断面係数の違い
2 断面二次モーメントとは
3 断面係数とは
4 まとめ・比較表

断面二次モーメントと断面係数の違い

先に結論を書くと、断面二次モーメントと断面係数の違いはズバリ下の通りです。

	断面二次モーメント $I$	断面係数 $Z$
意味合い	曲げた時の変形しにくさ（硬さ）	曲げた時の応力の立ちにくさ（強さ）
使う場面	はりのたわみ・変形量を求める	はりに掛かる応力を求める

どちらも断面形状のみによって決まる物理量で、材質などは関係しません。
使う時に便利なように式のまとめ方（定義）が少し違うだけです。

たわみと応力のどちらを求めたいかによって、
断面二次モーメントと断面係数を使い分けます。

ここからは断面二次モーメントと断面係数それぞれについて、
もう少し詳しく解説します。

断面二次モーメントとは

意味合い

曲げた時の変形しにくさ（硬さ）を表す物理量です。
はりのたわみ・変形量を求める際に使います。

断面二次モーメントが大きいほどたわみが小さく、
変形しにくい断面形状である事を意味します。

よく使う公式

よく使うのは断面形状が円形の時と長方形の時です。
それぞれの断面二次モーメントの公式を記載します。

断面二次モーメントを使う場面

下の図のように断面二次モーメント$I$、ヤング率$E$のはりに
曲げモーメント$M$を掛けたとき、はりの中立面における曲率$1/ρ$は
次のように表されます。

$ \frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI} $

この関係式を基として、微分方程式を使いながら式変形していくと、
各条件のはりのたわみ量を計算する事ができます。（詳細は省きます）

例えば下の図のように、長さ$\ell$の片持ちはりの先端に集中荷重$P$が掛かる場合、
先端のたわみ$ｙ$は次のようになります。

$y=\frac{P\ell^3}{3EI}$

断面二次モーメント$I$が大きいほど、たわみ$y$が小さくなる関係になっています。

はりの固定方法や荷重の掛かり方の条件（境界条件）が変われば
細かい係数は変わりますが、たわみ$y$が断面二次モーメント$Ｉ$に反比例する、
というのは変わりません。

「断面二次モーメント$I$は、はりのたわみを求める際に使う」
という事がお分かり頂けましたでしょうか。

断面二次モーメントの計算方法・考え方については以下の記事でより詳しく解説しています。

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（おまけ）なぜこんな変な名前なのか？

この項はおまけなので、読み飛ばしてＯＫです。

「断面二次モーメント」という取っ付きにくい名前はどこから来たのか？について、
解説したいと思います。

まずモーメントとは「定点から任意の点までの位置ベクトルと、その点におけるベクトル量の積」と定義されています。
（参考：weblio辞書、　Wikipedia）

要するに「中心までの距離×何か」で表される物理量と解釈できます。
確かに力のモーメントや慣性モーメントも
中心までの距離に力を掛けたり、質量を掛けて表されていますね。

では断面二次モーメントはどうか？について説明するために、
断面二次モーメントの定義を説明します。

下の図のように、曲げが掛かるはりの微小断面を考えたとき、
断面二次モーメント$I$は次のように定義されています。

$I=\int_{A}^{}y^2dA$

式の意味までは考えなくて良いですが、
中立軸（$z$軸）からの距離$y$の2乗と微小要素面積$dA$を掛けたものの総和
で表されています。

モーメントの定義である「中心までの距離×何か」で表されている上、
$y$の2乗（2次）で計算されているので、
「微小断面における2次のモーメント」→「断面二次モーメント」
と名前が決められたのです。

断面係数とは

意味合い

曲げた時の応力の立ちにくさ（強さ）を表す物理量です。
はりに掛かる応力を求める際に使います。

断面係数が大きいほど応力が小さく、
破壊しにくい断面形状である事を意味します。

断面係数$Z$は断面二次モーメント$I$を使って次のように定義されます。
$$Z=\frac{I}{e}$$
ここで$e$は中立軸から表面までの距離です。

断面二次モーメント$I$を$e$で割っただけですが、
応力を計算する際は$I$を使うより$Z$を使う方が式の形がシンプルなので、
別の文字を使うというだけです。

よく使う公式

よく使うのは断面形状が円形の時と長方形の時です。
それぞれの断面係数の公式を記載します。

上で説明した断面二次モーメントの公式と比較すると、
$I$を中立軸から表面までの距離（$d/2$や$h/2$）で割った
形になっているのが確認できます。

断面係数を使う場面

下の図のように断面二次モーメント$I$のはりに
曲げモーメント$M$を掛けたとき、軸方向の任意の位置$y$における応力$\sigma$は
次のように表されます。

$\sigma=\frac{My}{I}$

中立面より上半分は圧縮、下半分は引っ張りの応力が掛かります。
最大応力$\sigma_{max}$と最小応力$\sigma_{min}$は符号が違うだけで絶対値は同じです。
中立面からの距離$y$が大きい方が応力$\sigma$が大きくなり、
$y=e$となる表面の位置において最大応力$\sigma_{max}$となります。

設計の実務においては、
「最も応力の高い表面の位置でも応力が許容値以下になるか？」を気にします。
つまり、表面の応力さえ分かれば、内部の応力はどうでもよいのです。

従って、$y=e$での応力値
$$\sigma=\frac{Me}{I}$$
を多用する事になります。ここで$I$、$e$は断面形状によって決まる物なので、
ひとまとめにして新たに$Z=I/e$という物理量を定義し、応力を
$$\sigma=\frac{M}{Z}$$
というシンプルな計算式で出せるように工夫した、というわけです。

断面係数$Z$が大きいほど、応力$\sigma$は小さくなります。
応力を下げてはりを壊れにくくしたければ、
断面係数$Z$の大きい形状にすれば良いのです。

「断面係数$Z$は、はりの応力求める際に使う」
という事がお分かり頂けましたでしょうか。

断面係数については、以下の記事でより詳しく解説しています。

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